Развитие аналитической геометрии - реферат

МОГИЛЕВСКИЙ Муниципальный Институт

ИМ. А. А. КУЛЕШОВА

Реферат

Развитие аналитической геометрии

Выполнила

студентка

физико-математического

факультета

V курса, группы “Г”

Гуленкова Оксана

Могилев 2002.
Алгебраические способы в геометрии

Применение алгебры в геометрии имело к началу XVII в. долгую исто­рию. Еще античные вавилоняне решали многие задачки на прямоугольные треугольники, выражая разыскиваемые отрезки Развитие аналитической геометрии - реферат, как корешки численных квадрат­ных уравнений; подобные приемы употреблялись потом неодно­кратно. В традиционной! Греции принципиальным средством геометрического исследования, а именно конических сечений, служила геометриче­ская алгебра, в какой место вычислений занимали построения от­резков.

Бурные успехи символической и числовой алгебры в XVI в. явились основой еще более широких приложений Развитие аналитической геометрии - реферат алгебраического способа в геометрии, приведших к созданию новейшей аналитической геометрии. Пер­воначально работы в этом направлении не выходили за границы тради­ционных постановок и решений вопросов, время от времени достаточно сложных. Огромное число таких задач подверглось рассмотрению Виетом, за которым по­следовали и другие, к примеру Марин Геталдич (Гетальди Развитие аналитической геометрии - реферат, 1566—1627), уроженец югославского городка Дубровник (Рагуза), в то время бывшего самостоятельной республикой. Ученик Хр. Клавия и неплохой знаток греческих создателей, Гетальди испытал в особенности сильное воздействие Виета, с которым познакомился в бытность в Париже. В «Собрании разных задач» (Variorumproblematumcollectio, Veneliae, 1607) и посмертно из­данном труде «О математическом анализе и синтезе» (Deresolutioneetcompositionemathematica, Romae Развитие аналитической геометрии - реферат, 1630) Гетальди средствами алгебры Ви­ета решает различные задачки на деление отрезков, построение тре­угольников и так именуемые вставки (ср. т. I, стр. 84); по большей части его задачки выражаются уравнениями первой либо 2-ой степени относи­тельно искомого неведомого отрезка. В неких случаях применяется чисто геометрическое решение. Упомянем древнюю Развитие аналитической геометрии - реферат задачку о вставке меж продолжением стороны квадрата и наиблежайшей перпендикулярной стороной отрезка данной длины, продолжение которого проходит через верхушку квадрата, не лежащую на нареченных сторонах. Гетальди отнес задачку к тем, которые не относятся к алгебре (subalgebramnoncadunt), и решил ее геометрически. Данная задачка заинтересовала и других ученых. Жирар (1629) выразил Развитие аналитической геометрии - реферат ее уравнением четвертой степени и по­казал, как связан выбор символов перед радикалами, входящими в его кор­ни, с положением частей искомого отрезка. Декарт (1637) разглядел ее с целью привести пример уравнения четвертой степени, распадающегося на два квадратных (коэффициенты которых, меж иным, квадратично ир­рациональны относительно начальных коэффициентов). Попутно Декарт указал Развитие аналитической геометрии - реферат, как от более либо наименее успешного выбора неведомой зависит срав­нительная простота уравнения. Эти суждения Декарта подробнее раз­виты во «Всеобщей арифметике» Ньютона. Оригинальное решение при­надлежит еще Гюйгенсу.

Алгебраическим решением геометрических задач занимались, как видно, очень многие. К уже нареченным можно добавить, к примеру, имя британского алгебраиста Развитие аналитической геометрии - реферат Вильяма Отреда (1574—1660), на книжке кото­рого, озаглавленной, подобно одному из сочинений ал-Каши, «Ключ ма­тематики» (Clavismathematicae, Londini, 1631)[1] , отразилось бесспорное воздействие «Собрания разных задач» Гетальди.

Аналитическая геометрия

Описанная алгебраическая трактовка вопросов геометрии подготовля­ла почву для сотворения аналитической геометрии, предметом которой яв­ляется уже нс только нахождение отдельных отрезков, выражаемых Развитие аналитической геометрии - реферат кор­нями уравнений с одним неведомым, но исследование параметров разных геометрических образов, сначала алгебраических линий и поверхно­стей, выражаемых уравнениями с 2-мя либо более неведомыми либо ко­ординатами.

Координаты появились еще в древности, притом в разных формах, меж собой конкретно не связанных. С одной стороны, это были географические координаты Развитие аналитической геометрии - реферат, именовавшиеся долготой и широтой, при этом положение пт земной по­верхности, изображенной в виде прямоугольника, характеризовалось парой чисел. Схожими были астрономические координаты, служившие для определения положения светил на небесной сфере. Другой вид коор­динат представляли собой отрезки, зависимости меж которыми, так именуемые симптомы (см. т. I, 130), выражали определяющие свой­ства этих кривых Развитие аналитической геометрии - реферат. В данном случае речь шла не о числовых координатах всех точек с отсчетом от фиксированного меридиана и параллели, а об отрезках поперечников и хорд, связанных с точками рассматриваемой фи­гуры.

Специфичной разновидностью координат были отрезки широт и долгот в теории конфигурации форм Орема. Тут не было ни числовых коор Развитие аналитической геометрии - реферат­динат всех точек, ни «симптомов», выраженных средствами геометри­ческой алгебры; словесно сформулированная зависимость меж широтой и долготой формы изображалась плоской линией.

Координатные отрезки древнегреческой геометрии стали известны в Европе частью по арабским сочинениям, но приемущественно по трудам Архимеда и в особенности Аполлония. Параллельные хорды либо полухорды, сопряженные некому Развитие аналитической геометрии - реферат поперечнику, Аполлоний называл, если перевести с греческого, «по порядку проведенными линиями», а отрезки этого диа­метра от его конца до хорды — «отсеченными на поперечнике по порядку про­веденными (линиями)» (на рис. 6 соответственно у и x ). В собственном упоминав­шемся ранее латинском издании «Конических сечений» (Венеция, 1566) Федориго Коммандино 1-ые

выражения передал оборотом Развитие аналитической геометрии - реферат ordinatimapplicatae, т. е. «по порядку приложенные» (т. е. направленные)[2] , а вто­рое — quaeabipsisexdiametroadverticemabscinduntur, т. е. «которые отсекаются ими па поперечнике от вершины». Отсюда берут начало определения abscissa, т. е. «отсеченная», ordinata и applicata, которые, вобщем, уко­ренились не сходу. Слово «абсцисса», встречавшееся в смысле отрезка у Развитие аналитической геометрии - реферат разных создателей, к примеру Кавальерп (1635), становится техниче­ским термином координатной геометрии в 1668 г. у Микеланджело Риччи (1619—1692) ii в особенности у Лейбница, начиная с рукописей 1673 г. Ферма и Декарт в собственных основоположных сочинениях по аналитической геомет­рии (1636—1637; писали еще об «отрезках диаметра». Слово «ордината» в нашем смысле использовал другой переводчик па Развитие аналитической геометрии - реферат латынь «Конических се­чений» — Франчсско Мавролико. Ферма воспользовался термином applica­ta, Декарт — appliqueeparordre, т. е. французским переводом ordinatimapplicata, но также (в письме 1638 г.) словом ordonnee, которое неза­долго перед тем в 1637 г. употребил в собственном курсе П. Эригон (в латин­ском тексте 1644г.—ordinata); потом им стал часто воспользоваться Развитие аналитической геометрии - реферат Лейбниц.

Посреди XVIII в. слово «ордината» начинает теснить в геомет­рии на плоскости слово «аппликата». Обе координаты сначало назывались неведомыми величинами, как у Ферма, либо неопределенны­ми, как у Декарта; слово «координаты» ввел в 1692 г. Лейбниц, имея в виду уже любые криволинейные координаты. Но к тому же позже понятие о координатах Развитие аналитической геометрии - реферат связывалось с отрезками поперечников и хордами плоских кривых. Так обстоит, к примеру, дело в статьях «Abscissa, dieAbscisse» и «Ordinatae, ordinatimapplicatae, dieOrdinaten» «Математического словаря» (MathematischesLexicon, Leipzig, 1716) Xp. Вольфа (ср. стр. 35).

Термин «ось», который у Аполлония относился к взаимно перпендику­лярным сопряженным поперечникам, употребил в более широком смысле Развитие аналитической геометрии - реферат И. Барроу (1670). Обозначение исходной точки буковкой О всходит к ее наименованию origine — «начало», данному Ф. Лагиром в 1679 г.; два­дцатью годами ранее Я. де Витт писал об initiumimmutabile, недвижном начале. Декарт еще гласил о точке, с которой начинаются вычисления. Вернемся от истории терминологии к истории геометрических способов и мыслях.

Аналитическая геометрия Ферма

К Развитие аналитической геометрии - реферат разработке начал новейшей аналитической геометрии независимо друг от друга и сразу приступили оба больших французских ма­тематика XVII в.— Ферма и Декарт. Маленькое «Введение в исследование плоских и телесных мест» (Adlocospianosetsolidosisagoge) Ферма было написано несколько ранее 1637 г., но при жизни Ферма распространялось через Мерсепна и других исключительно Развитие аналитической геометрии - реферат в рукописном виде. Напомним, что «плоские и телесные места» — определения греческой геометрии — означали прямые и окружности и соответственно эллипсы, параболы и гиперболы. Работа написана в обозначениях Виета с соблюдением однородности урав­нений.

Ферма определяет принцип аналитической геометрии последующим образом: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неведомые величины Развитие аналитической геометрии - реферат (quantitatesignotae), налицо имеется место, и ко­нец какой-то из них обрисовывает прямую либо же кривую линию... Для уста­новления уравнений комфортно расположить обе неведомые величины под неким данным углом (который мы большей частью принимаем прямым) и задать положение и конец одной из величин»[3] . Как мы лицезреем, под неведомыми величинами (координатами Развитие аналитической геометрии - реферат) Ферма осознает прямоли­нейные отрезки: первую из их он каждый раз обозначает NZ и алгебра­ически буковкой А , а вторую соответственно ZI и Е. Потом по порядку рас­сматриваются разные плоские и телесные места.

Уравнение прямой, проходящей через исходную точку, Ферма вы­водит в форме

D на А Развитие аналитической геометрии - реферат равно В на Е ,

т. е. dx = by (на рис. 7 нанесена только часть прямой NI , потому что Ферма пользуется положительными координатами). К этому случаю приводится общее уравнение первой степени (с обозначенным ограничением) и несколько дальше однородное уравнение 2-ой степени, при этом тут говорится только об одной из 2-ух вероятных Развитие аналитической геометрии - реферат прямых. 1-ое приведение по существу со­стоит в преобразовании координат, конкретно в параллельном сдвиге повдоль горизонтальной оси: от уравнения вида с - dx = by Ферма перебегает к d (r - х ) = by , где dr = с. Идею преобразования координат методом па­раллельного переноса системы Ферма более ясно выражает в сле­дующих примерах: установив Развитие аналитической геометрии - реферат поначалу, что в прямоугольной системе уравнение окружности с центром в исходной точке есть b 2 -x 2 = у 2 , он верно охарактеризовывает общее уравнение окружности и для эталона конвертирует к основной форме уравнение

b 2 - 2dx = у 2 + 2r у .

Для этого он производит дополнение до квадрата

p 1 - (х + d )2 = (у + r )2 , где р Развитие аналитической геометрии - реферат 2 = r 2 + b 2 + d 2 ,

потом пишет опять x заместо x + d и y заместо у + r и получает

p 2 -x 2 = у 2 .

Следует увидеть все таки, что Ферма обходит молчанием вопрос об отрица­тельных координатах, какими оказываются координаты центра (-d , -r ) в данной задачке (ибо d и r у него положительные). Очевидно, выстроить центр Развитие аналитической геометрии - реферат для него не представляло труда и в данном случае.

Главные уравнения конических сечений представляют собой у Ферма конкретное выражение в определениях алгебры их параметров, узнаваемых по труду Аполлоиня. Для параболы это уравнения x 2 = dy и симметричное у 2 = dx , для эллипса (b 2 -x 2 )/y 2 = const (указывается, что в случае Развитие аналитической геометрии - реферат непрямого координатного угла кривая будет эллипсом и при const = 1), для гиперболы (b 2 + x 2 )/y 2 = const. Интересно, что на рисунке в по­следнем случае изображены обе ветки гиперболы, хотя опять-таки об отрицательных координатах ничего не сказано. Не считая того, приводится уравнение равносторонней гиперболы ху=с. Все это распространяется на надлежащие Развитие аналитической геометрии - реферат уравнения, дополненные линейными членами.

На личном примере уравнения b 2 - 2x 2 = 2xy + у 2 Ферма разбирает и более тяжелый случай, когда группа старших членов содержит и член с произведением координат. Его выкладки и построения соответствуют пе­реходу к новейшей системе координат X ,Y с прежним началом и осью орди Развитие аналитической геометрии - реферат­нат и с осью абсцисс, образующей угол 45° со старенькой. В этой системе Х = х , Y = x + у , так что (2b 2 — X 2 )/Y 2 = 2 и фигура есть эллипс.

Изложив все это, Ферма писал: «Таким образом мы кратко и ясно выложили все, что оставили невыясненным древнейшие относительно плоских и телесных мест»[4] . По сути был Развитие аналитической геометрии - реферат изготовлен только 1-ый шаг к созда­нию нового типа геометрии, которая, меж иным, получила свое ны­нешнее наименование только в самом конце XVIII в.[5]

Аналитическая геометрия Декарта

«Введение» Ферма, длительное время остававшееся в рукописи, не отыскало того широкого распространения, какое получила «Геометрия» Декарта, изданная в 1637 г. О воздействии «Введения Развитие аналитической геометрии - реферат» на Декарта не может быть речи. Мы гласили уже, что все главные идеи «всеобщей математики», как в ал­гебраической, так и в геометрической части, имелись у ее творца не позд­нее 1632 г.

Изложение аналитической геометрии у Декарта почти во всем отличается от данного Ферма. В одном оно уступает, ибо Развитие аналитической геометрии - реферат разбросано по всем трем книжкам «Геометрии» и даже во 2-ой из их, содержащей более принципиальные элементы новейшей дисциплины, не имеет периодического нрава, как во «Введении». Но в других отношениях геометрия Декарта имела реши­тельные достоинства. Не говоря уже о том, что Декарт использовал бо­лее развитую символику, что Развитие аналитической геометрии - реферат его изложение было доступнее и богаче примерами, он выдвинул несколько общих мыслях и предложений, очень существенных для следующего.

Один из главных вопросов для Декарта заключался в последующем: какие полосы служат предметом геометрии? Ответ определялся верой Де­карта в то, что единственным общим способом арифметики является алге­браический. Поначалу этот Развитие аналитической геометрии - реферат ответ формулируется в кинематических выра­жениях: геометрические полосы — это те, которые «описаны непрерыв­ным движением либо же несколькими такими поочередными движе­ниями. пз которых следующие полностью определяются им предшествую­щими.— ибо этим методом всегда можно точно выяснить их меру»[6] . Напротив, из геометрии, т. е. фактически всеобщей арифметики, исключаются меха Развитие аналитической геометрии - реферат­нические полосы, описываемые «двумя отдельными движениями, меж которыми и существует никакого дела, которое можно было бы точно измерить»[7] . Примеры механических линий—спираль и квадратриса: в качестве примера геометрических приводятся кривые, описывае­мые неким шарнирным механизмом, число звеньев которого можно неопределенно наращивать. Этот механизм, по идее схожий смезолабием предложенным Эратосфеном Развитие аналитической геометрии - реферат в III в. до н. э. для построения 2-ух средних пропорциональных, Декарт изобрел меж 1619 и 1621 гг.: в третьей части «Геометрии» показано, как можно с его помощью строить хоть какое число средних пропорциональных меж 2-мя данными отрезками

а : x 1 = x 1 : x 2 = x 2 : х 3 = ... =x n : b.

Уравнения описываемых этим прибором линий

r Развитие аналитической геометрии - реферат 2 (x 2 + у 2 )2 n -1 = x 4 n (n = 0,1, 2,...)

Декарт не привел ни в общем виде, ни для личных значений п.

Кинематическое образование линий являлось отправным пт геометрии Декарта и применяется в ней не один раз. Естественно, данная им при всем этом кинематическая черта геометрических линий как кривых, описываемых одним либо несколькими непрерывными Развитие аналитической геометрии - реферат движения­ми, поочередно определяющими друг дружку, не полностью ясна, так же как и заявление, что для проведения всех таких линий «нужно только то предположение, что две либо несколько линий можно переме­щать повдоль друг дружку и что их скрещения образуют другие линии»[8] . Но в этих утверждениях, на самом деле Развитие аналитической геометрии - реферат дела, Декарт предвосхитил уже упоми­навшуюся важную аксиому британского ученого А. Кемпе (1876), со­гласно которой средством плоских шарнирных устройств можно опи­сать дуги всех алгебраических кривых и нельзя обрисовать ни одной транс­цендентной. Собственный кинематический метод деления линий на геометриче­ские и механические Декарт тотчас облекает в более ясную аналитиче Развитие аналитической геометрии - реферат­скую форму и тут же предлагает систематизацию первых. «Все точки линий,— пишет он,— которые можно именовать геометрическими, т. е. которые подходят под какую-либо точную и определенную меру, обяза­тельно находятся в неком отношении ко всем точкам прямой полосы, которое может быть выражено неким уравнением, одним и Развитие аналитической геометрии - реферат этим же для всех точек данной линии»[9] . В этом воистину восхитительном по глубине месте собственного сочинения Декарт вводит и способ прямолинейных координат и понятие об уравнении кривой, а вкупе с тем понятие о функции как аналитическом выражении, составленном из «неопределенных» отрезков x и у. Несколько перед тем Декарт растолковал, как Развитие аналитической геометрии - реферат обрисовывать кривую либо, точнее, строить хоть какое число ее точек, вычисляя значения х по данным значениям у ,— первой координатой у него служила у .

В 1684 г. Лейбниц именовал геометрические кривые Декарта алгебраи­ческими, а механические — непознаваемыми, мотивируя отказ от тер­минологии Декарта тем, что и механические полосы не подлежат исклю Развитие аналитической геометрии - реферат­чению из геометрии.

Конкретно за изложенными общими соображениями Декарт приводит первую общую систематизацию алгебраических кривых в зави­симости от степени их уравнений, отнеся к роду п кривые с уравнениями степени 2п — 1 и 2п. Систематизация требовалась сначала для все­общей арифметики Декарта (стр. 30), также была нужна в аналитиче­ской Развитие аналитической геометрии - реферат геометрии. Предложенное Декартом разделение кривых по родам, себя не оправдавшее, мотивировалось тем, что, по его воззрению, кривые с уравнением степени 2п вообщем не труднее, чем с уравнением степени 2п — 1. Все трудности, связанные с четвертой степенью, писал он, при­водятся к третьей, а трудности, связанные с 6-ой степенью,— к пятой и Развитие аналитической геометрии - реферат т. д. Принятой систематизацией плоских кривых по порядкам мы должны Ньютону.

Но систематизация кривых в прямолинейных координатах по родам либо порядкам имеет смысл, если род либо порядок кривой не находится в зависимости от выбора координатной системы. Это было Декарту ясно, и он, правда ми­моходом, но полностью ясно, определил Развитие аналитической геометрии - реферат базовое предло­жение об инвариантности рода кривой при подмене одной системы прямо­линейных координат другой: «Действительно, хотя для получения более недлинного и комфортного уравнения и нужен очень кропотливый выбор, но все таки, какими бы прямую и точку ни взяли, всегда можно сделать так, что­бы линия оказалась такого Развитие аналитической геометрии - реферат же самого рода: это просто доказать»[10] . Вобщем, подтверждение не приводится, ну и формулы линейного преобразования координат у Декарта еще отсутствовали.

В качестве первого примера Декарт выводит уравнение полосы ЕС , описанной точкой скрещения линейки GL и неопределенно продолжен­ной стороны CNK плоской прямолинейной фигуры NKL , сторона кото­рой KL движется Развитие аналитической геометрии - реферат повдоль данной прямой ВА , заставляя крутиться вокруг точки G линейку, постоянно проходящую при всем этом через точку L . При­няв GA , перпендикуляр к ВА , равным а , KL = b ,NL = с , выбрав АВ за ось х и точку А за начало, Декарт обозначает «неопределенные и неизве­стные величины» СВ = у , ВА Развитие аналитической геометрии - реферат = х. Тогда на основании подобия тре­угольников СВК и NLK , с одной стороны, и CBL и GAL — с другой, стремительно выводится уравнение полосы ECG

уу = су - ху + ау - ас ,

так что эта линия первого рода и, как показывает без подтверждения Де­карт, гипербола (пример этот тщательно разобрали комментаторы латинского издания Развитие аналитической геометрии - реферат «Геометрии»).

Страничка первого издания «Геометрии» Р. Декарта (1637):

начало вывода уравнения полосы ЕС

Заменяя прямую CNK другими линиями, можно получать таким макаром нескончаемое огромное количество кривых. Так, если CNK есть окружность с центром L , то будет описана конхоида (не­сомненно, что прием Декарта является как раз обобщением древнего определения Развитие аналитической геометрии - реферат конхоиды), а если CNK есть парабола с поперечником KB , то появляется кривая второго рода, конкретно та, которую Ньютон впослед­ствии именовал трезубцем (ср. дальше стр. 108). Вообщем, заявляет Декарт, если образующая кривая имеет род п, то описанная линия будет рода п -)- 1. Это одна из немногих ошибок Декарта, который не довел, видимо Развитие аналитической геометрии - реферат, до конца легкие, по его своим словам, вычисления. По сути, если в подвижной системе координат СВ = у ,BL = х' , уравнение полосы CNK есть

f (x' ,y ) = 0,

то кривая ECG имеет в прежних координатах уравнение

Некорректность Декарта показал на личном примере еще Ферма. В рассмотренном только-только примере нарисованы две взаимно перпен Развитие аналитической геометрии - реферат­дикулярные координатные оси, хотя и не в обыкновенном для нас положении. Но в большинстве случаев Декарт, так же как Ферма и наиблежайшие поколения их последователей, чертил только одну ось с исходной точкой и указывал направление других координат, вообщем говоря наклонных. Отрицатель­ные абсциссы lie рассматривались, что время от времени Развитие аналитической геометрии - реферат приводило к неточным либо неполным чертежам. Эти замечания не относятся к Ньютону либо Лейбницу. но правильное различение символов координат и применение обеих осей стало обыденным делом уже в XVIII в.

Силу собственного способа Декарт потом показывает на предложенной ему Я. Гоолем задачке Паппа о геометрическом месте к 2п Развитие аналитической геометрии - реферат либо 2n - 1 прямым, которое определяется последующим образом: даны 2п (либо 2n - 1) прямых, требуется отыскать геометрическое место таких точек, чтоб произведение отрезков, приведенных от их под данными углами к п из этих прямых, находилось в данном отношении к произведению подобных отрезков. проведенных к остальным п (либо n - 1) прямым. Античные Развитие аналитической геометрии - реферат знали, что при п = 2 геометрическое место есть коническое сечение, но не оставили ана­лиза и этого варианта: случай же n > 2 остался нерассмотренным. Если мы запишем уравнение прямых в виде а k х + b k у + ck = 0, то длины прове­денных к ним отрезков dk пропорциональны левым частям этих уравне­ний, и для Развитие аналитической геометрии - реферат нас отсюда ясно, что уравнение места будет, вообщем говоря, кривой порядка п. Декарт, получив выражения для dk в избранной им косоугольной координатной системе из геометрических суждений, при­ходит к тому же общему результату. Более тщательно он разглядел слу­чаи n = 2 и п = 3. Это сначала место к трем либо четырем Развитие аналитической геометрии - реферат прямым, исследование которого дает ему повод изучить уравнение второго порядка, очень общего, хотя и не самого вида. Пусть данные пря­мые сущность АВ ,AD ,EF и GH , при этом углы, образуемые с ними отрезками СВ ,CD ,CF и СH , проведенными из точек С искомого геометрического ме­ста, определяемого Развитие аналитической геометрии - реферат условием CB - - CF = CD - CH , известны (рис. 8). Де­карт воспринимает одну из данных и одну из проведенных линий, конкретно АВ и ВС , за оси А В = х , ВС = у и обозначает данные длины отрезков ЕА = k ,AG = l . Данными являются также углы треугольников на рис. 8, а означает, дела Развитие аналитической геометрии - реферат их сторон

АВ : BR = z : b ,CR : CD = z : с и т. д., где z , b , с , ... сущность данные отрезки (Декарт не вводит синусы углов). После чего нее нужные отрезки выражаются через x , у , z ,b , с , ..., k ,l , линейно относительно х и у :

CB = y , ,

а условие CB · CF = CD Развитие аналитической геометрии - реферат · CH выражается уравнением 2-ой степени без свободного члена, решение которого относительно у , после введения не­которых сокращенных обозначений, дает

Однородность приобретенного уравнения разъясняется принятыми для отно­шений сторон выражениями и, в сути, не была в очах Декарта обя­зательной (ср. стр. 42), но представляла в этом случае то удобство Развитие аналитической геометрии - реферат, что в принципе позволяла сходу строить одни отрезки по другим. В приводи­мом несколько дальше числовом примере однородность относительно бук­венных величин не соблюдается в отличие от примера Ферма, в алгебре примыкавшего к Виету (ср. стр. 102).

Делая упор на аксиомы I книжки «Конических сечений» Аполлония, Де­карт указывает, что приобретенное Развитие аналитической геометрии - реферат уравнение принадлежит коническому сечению, а в особенных случаях, когда радикал обращается в нуль либо ко­рень извлекается нацело, оказывается прямой линией: в самостоятельном виде уравнение прямой отсутствует и о «вырождении» кривой второго порядка в пару прямых ничего не говорится. В процессе анализа выясняется, при каких знаках коэффициентов получаются Развитие аналитической геометрии - реферат парабола, гипербола и эл­липс, а именно окружность, и определяются положение и форма кони­ческого сечения — в случае параболы

верхушка, поперечник и «прямая сторона»[11] , а в случае центральных кривых—центр верхушки, «прямая сто­рона» и поперечникы. Тут же Декарт разбирает числовой пример, беря ЕА = 3, AG = 5, АВ = BR и т Развитие аналитической геометрии - реферат. д., а угол ABR равным 60°, так что урав­нение есть уу = 2у — ху + 5x — хх : кривая при всем этом оказывается окруж­ностью. Общее заключение говорит, что к первому роду принадлежат круг, парабола, гипербола и эллипс. Ровная не упоминается, — ее при­надлежность к первому роду выделил Дебон, который разглядел так­же случай, когда Развитие аналитической геометрии - реферат в уравнении нет членов с х 2 и у 2 , но есть ху , оставленный Декартом в стороне.

Прямо за тем Декарт изучает еще место к 5 прямым и специально случай, в каком четыре прямые сущность эквидистанты АВ ,IH ,ED ,GF ,а 5-ая GA к ним перпендикулярна (рис. 9), при этом CF · CD Развитие аналитической геометрии - реферат · CH = СВ·СМ·а , где а — расстояние меж примыкающими эквидистантами. Тут возникает 1-ое в истории аналитической геометрии уравнение кривой третьего порядка. Обозначив СВ = у , СМ = х , Декарт находит

у 3 — 2ay 2 — аау + 2а 3 = аху ,

т. е. уравнение трезубца (см. стр. 106), и указывает, что эта кривая CEG может быть, как он утверждал ранее Развитие аналитической геометрии - реферат, описана скрещением параболы CKN , поперечник которой KL = а движется по АВ , и линейки GL , вра­щающейся вокруг точки G и повсевременно проходящей через точку L[12] . Он не упускает из виду, что разыскиваемым местом служит также кривая NIo , опи­санная скрещением GL с другой ветвью параболы (HKN Развитие аналитической геометрии - реферат ), можно взять и сопряженные полосы cEGc и п I 0 , получающиеся, если подвижная парабола обращена верхушкой в другую сторону. Чертеж в «Геометрии» недо­статочно ясно изображает вторую часть трезубца, который состоит из 2-ух отдельных линий, имеющих любая — в терминологии Ньютона — гиперболическую ветвь с асимптотой АВ и параболическую ветвь, ли­шенную асимптоты Развитие аналитической геометрии - реферат. Как и должно быть, кривая пересекает на чертеже горизонтальную ось при значениях у = — а , у = а , у = 2а , но точка перегиба у части, лежащей справа от асимптоты, не обозначена.

Огромное место занимают в «Геометрии» исследование оптических овалов, рассматриваемых в биполярных координатах, и про­ведение нормалей. 2-ая книжка сочинения заканчивается короткими замечаниями Развитие аналитической геометрии - реферат о способности распространения способа на про­странственные кривые средством проектирования их точек на две вза­имно перпендикулярные плоскости и заявлением: «Я полагаю сейчас, что ничего не пропустил из начал, нужных для зания кривых линий»[13] .

Естественно, в этих словах Декарта, как и в приведенной выше авторской оценке Развитие аналитической геометрии - реферат «Введения» Ферма, было бесспорное преувеличение. Но действи­тельно, перед геометрией раскрывались невиданно широкие перспективы. Историки науки много спорили о том, имелась ли у Аполлония аналити­ческая геометрия и было ли творчество Ферма и Декарта в этой области новаторским. Ответ находится в зависимости от определения термина «аналитическая гео­метрия», который, как отмечалось в Развитие аналитической геометрии - реферат другой связи, понимается по-разному. Непременно, что оба ученых очень многим должны были старым и что в саму теорию конических сечений они не занесли каких-то новых теорем, также не выстроили ее в чисто аналитическом плане. И совместно с тем Декарт и Ферма закладывали фундамент воистину новейшей Развитие аналитической геометрии - реферат геометрии, хотя «симптомы» Аполлония и соответствовали буквенным уравнениям кривых второго порядка.

Дело в том, что, как верно писал Г. Цейтен, «геометрическая форма, приданная способом старых самой алгебре, была предпосылкой многочислен­ных композиций меж средствами и объектом геометрического исследо­вания — композиций, которые должны были оставаться достаточно чуж­дыми аналитической геометрии Развитие аналитической геометрии - реферат, в особенности так как последняя стре­милась перевоплотить геометрические задачи полностью в задачки исчисле­ния»[14] . И до того времени, пока средством исследования оставалась геометри­ческая алгебра, синтетическое рассмотрение безизбежно переплеталось с аналитическим, а в очах неких ученых являлось принципно господствующим. Ньютон, завершая собственный вывод аксиомы о том, что место Развитие аналитической геометрии - реферат к четырем прямым есть коническое сечение, писал: «Такое решение, как приведенное выше, т. е. исполняемое не при помощи исчисления, но геометри­ческим построением, и изыскивалось древними»[15] . Меж тем после Ферма и Декарта и благодаря им начинает развиваться чисто аналитический ме­тод исследования геометрических образов, в принципе не нуждающийся в Развитие аналитической геометрии - реферат воззвании к геометрическим построениям и опирающийся только на ал­гебраическое исчисление. Такая общая, идеологическая сторона дела. К этому следует добавить, что новенькая алгебра давала средства исследования кривых хоть какого порядка, 1-ые примеры чего имеются уже у Декарта[16] (такое применение геометрической алгебры было нереально), что система коор­динат становилась свободной от связи Развитие аналитической геометрии - реферат с теми либо другими исключительными точками и направлениями (к примеру, поперечником и верхушкой конического сечения), что получали право на существование отрицательные коор­динаты и т. д. Мы не говорим уже о том, что в новейшей геометрии в первый раз отыскало очевидное выражение понятие о функции, данной Развитие аналитической геометрии - реферат формулой.

В свете произнесенного второстепенное значение имеют недочеты, при­сущие аналитической геометрии Декарта и Ферма, пользовавшегося к то­му же наименее совершенной алгеброй Виета, к примеру не разработанность вопроса об отрицательных координатах либо отсутствие на большинстве чертежей 2-ой оси, также то событие, что оба они ограничились немногими примерами приложения нового способа.

Современники Развитие аналитической геометрии - реферат восприняли новейшую геометрию с энтузиазмом. Уже в ла­тинских изданиях «Геометрии» Декарта мы находим отдельные, заслу­живающие упоминания вещи.


[1] В первом издаиии этот очень всераспространенный в XVII в. труд именовался «Основы математики в числах и видах» (Arithmeticaeinnumerisetspeciebusinstitutio).

[2] Еще в переводе арабского трактата Ибн ал-Хайсама о параболических Развитие аналитической геометрии - реферат зеркалах, изготовленном в XII в., употребляется оборот lineasecunduinordinem, т. е. «линия по порядку». Н. Орем посреди XIV в. писал о перпендикулярно приложенных отрез­ках — perpendiculariterapplicatae.

[3] П. Ферма. Введение в исследование плоских и пространственных мест. В книжке: Р. Де­карт. Геометрия, стр. 137—138.

[4] См. Р. Декарт. Геометрия, стр. 146.

[5] Термин «аналитическая геометрия Развитие аналитической геометрии - реферат» в применении к хоть каким геометрическим прило­жениям алгебры употреблялся в XVIII в. не раз. В более особом смысле. совпадающем с принятыми в XIX в., его начал использовать С. Ф. Лакруа, а пер­вую книжку, озаглавленную «Начала аналитической геометрии» (Elements de geome­tric analytique. Paris, 1801), опубликовал доктор Политехнической школы Ж Развитие аналитической геометрии - реферат. Г. Гарнье (1766-1840).

[6] Р. Декарт. Геометрия, стр. 30.

[7] Там же, стр. 30-31

[8] Р. Декарт. Геометрия, стр. 30.

[9] Там же, стр. 33

[10] Р. Декарт. Геометрия, стр. 34

[11] «Прямая сторона» — термин, восходящий к древности, есть отрезок, равный нашему удвоенному параметру. Слово «параметр» (измеряю) предложил в этом смысле употреблять друг Декарта Кл. Мидорж во «Введения в катоптрику Развитие аналитической геометрии - реферат и диоптрику либо труде о конических сечениях» (Prodromuscatoptricorumetdioptri-corumsiveconicoruniopus, Parisiis, 1631).

[12] В подвижной системе координат ЕВ = у ,LB = х' уравнение параболы CKN есть у 2 = а (a — х' ), при всем этом х' = ху/ (2а — х ).

[13] Р. Декарт. Геометрия, стр. 73

[14] Г. Цейтен. История арифметики в древности и в средние века. Перевод П. С Развитие аналитической геометрии - реферат. Юшке­вича. М.— Л., 1938, стр. 138.

[15] И. Ньютон. Математические начала натуральной философии. Перевод А. Н. Кры­лова. Собрание трудов А. Н. Крылова, т. VII. М.— Л., стр. 122.

[16] Кроме трезубца Декарт разглядел (в переписке 1638 г.) так именуемый декартов лист x 3 + y 3 = 3axy и еще некие высшие кривые.



razvitie-innovacionnoj-deyatelnosti-otchet-ob-ispolnenii-zakona-respubliki-buryatiya-o-programme-socialno-ekonomicheskogo.html
razvitie-inoyazichnoj-poznavatelnoj-kompetencii-v-professionalno-orientirovannom-chtenii-u-studentov-neyazikovogo-vuza-13-00-02-teoriya-i-metodika-obucheniya-i-vospitaniya-filologiya-uroven-professionalnogo-obrazovaniya.html
razvitie-instituta-prav-sobstvennosti-v-rinochnoj-ekonomike.html